已知椭圆的顶点与双曲线y24−x212=1的焦点重合,它们的离心率之和为13/5,若椭圆的焦点在x轴上,求椭圆的标准方程.
问题描述:
已知椭圆的顶点与双曲线
−y2 4
=1的焦点重合,它们的离心率之和为x2 12
,若椭圆的焦点在x轴上,求椭圆的标准方程. 13 5
答
设所求椭圆方程为
+x2 a2
=1,y2 b2
其离心率为e,焦距为2c,
双曲线
−y2 4
=1的焦距为2c1,离心率为e1,(2分)x2 12
则有:c12=4+12=16,c1=4 (4分)
∴e1=
=2(6分)c1 2
∴e=
−2=13 5
,3 5
即
=c a
①(8分)3 5
又b=c1=4 ②(9分)
a2=b2+c2③(10分)
由①、②、③可得a2=25
∴所求椭圆方程为
+x2 25
=1(12分)y2 16