已知椭圆的顶点与双曲线y24−x212=1的焦点重合,它们的离心率之和为13/5,若椭圆的焦点在x轴上,求椭圆的标准方程.

问题描述:

已知椭圆的顶点与双曲线

y2
4
x2
12
=1的焦点重合,它们的离心率之和为
13
5
,若椭圆的焦点在x轴上,求椭圆的标准方程.

设所求椭圆方程为

x2
a2
+
y2
b2
=1,
其离心率为e,焦距为2c,
双曲线
y2
4
x2
12
=1
的焦距为2c1,离心率为e1,(2分)
则有:c12=4+12=16,c1=4                                      (4分)
e1
c1
2
=2
(6分)
e=
13
5
−2=
3
5

c
a
3
5
①(8分)
又b=c1=4    ②(9分)
a2=b2+c2③(10分)
由①、②、③可得a2=25
∴所求椭圆方程为
x2
25
+
y2
16
=1
(12分)