若a>0,b>0,且a+b=4,则下列不等式中恒成立的是(  ) A.1ab>12 B.1a+1b≤1 C.ab≥2 D.1a2+b2≤18

问题描述:

若a>0,b>0,且a+b=4,则下列不等式中恒成立的是(  )
A.

1
ab
1
2

B.
1
a
+
1
b
≤1
C.
ab
≥2
D.
1
a2+b2
1
8

∵a>0,b>0,且a+b=4,
∴ab≤(

a+b
2
)2=4,
1
ab
1
4
,故A不成立;
1
a
+
1
b
4
ab
≥1
,故B不成立;
ab
≤2
,故C不成立;
∵ab≤4,a+b=4,∴16-2ab≥8,
1
a2+b2
=
1
(a+b)2−2ab
=
1
16−2ab
1
8
,故D成立.
故选D.