已知函数f(x)＝13x3−2x2+ax(a∈R，x∈R)在曲线y=f（x）的所有切线中，有且仅有一条切线l与直线y=x垂直．（Ⅰ）求a的值和切线l的方程；（Ⅱ）设曲线y=f（x）上任一点处的切线的倾斜角为θ，求θ的取值范围．
问题描述：
已知函数f(x)＝
x3−2x2+ax(a∈R，x∈R)在曲线y=f（x）的所有切线中，有且仅有一条切线l与直线y=x垂直．1 3
（Ⅰ）求a的值和切线l的方程；
（Ⅱ）设曲线y=f（x）上任一点处的切线的倾斜角为θ，求θ的取值范围．
答
（Ⅰ）∵f(x)＝
x2−2x2+ax，1 3
∴f/（x）=x2-4x+a．（2分）
∵在曲线y=f（x）的所有切线中，有且仅有一条切线l与直线y=x垂直，
∴x2-4x+a=-1有且只有一个实数根．
∴△=16-4（a+1）=0，
∴a=3．（4分）
∴x=2，f(2)＝
．2 3
∴切线l：y−
＝−(x−2)，即3x+3y-8=0．（7分）2 3
（Ⅱ）∵f/（x）=x2-4x+3=（x-2）2-1≥-1．（9分）
∴tanθ≥-1，（10分）
∵θ∈[0，π），
∴θ∈[0，
)∪[π 2
，π)（13分）3π 4
答案解析：（1）由已知可得函数的导函数，即切线斜率的函数，因为在曲线y=f（x）的所有切线中，有且仅有一条切线l与直线y=x垂直，所以导函数只有一个实根，进而易得a的值与切线1的方程．
（2）因为在曲线y=f（x）的所有切线中，有且仅有一条切线l与直线y=x垂直，显然切线斜率≥-1从而可以解出θ的范围．
考试点：直线的点斜式方程；直线的倾斜角．
知识点：本题考查了直线的点斜式方程及直线的倾斜角，是一道综合题，应注意运用导函数求解．