△ABC中,若(sinA+sinB+sinC)(sinA+sinB-sinC)=3sinAsinB,则C=_.
问题描述:
△ABC中,若(sinA+sinB+sinC)(sinA+sinB-sinC)=3sinAsinB,则C=______.
答
三角形ABC中
=a sinA
=b sinB
=2R(2R是三角形ABC的外接圆直径)c sinC
所以a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.
在等式的两边同时乘4R2得到
(a+b+c)(a+b-c)=3ab
⇒(a+b)2-c2=3ab
⇒a2+b2-c2=ab
⇒
=
a2+b2−c2
2ab
1 2
于是cosC=
,所以C=60°.1 2
应填60°.