△ABC中,若(sinA+sinB+sinC)(sinA+sinB-sinC)=3sinAsinB,则C=_.

问题描述:

△ABC中,若(sinA+sinB+sinC)(sinA+sinB-sinC)=3sinAsinB,则C=______.

三角形ABC中

a
sinA
b
sinB
c
sinC
=2R(2R是三角形ABC的外接圆直径)
所以a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.
在等式的两边同时乘4R2得到
(a+b+c)(a+b-c)=3ab
⇒(a+b)2-c2=3ab
⇒a2+b2-c2=ab
a2+b2c2
2ab
1
2

于是cosC=
1
2
,所以C=60°.
应填60°.