已知函数f（x）=alnx/x+1+b/x，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y-3=0． （Ⅰ）求a、b的值； （Ⅱ）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞lnx/x−1．
问题描述：
已知函数f（x）=
+alnx x+1
，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y-3=0．b x
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞
． lnx x−1
答
（I）f′(x)＝
−a(
− lnx)x+1 x (x+1)2
．b x2
由于直线x+2y-3=0的斜率为-
，且过点（1，1）1 2
所以
＝−
b＝1
−ba 2
1 2
解得a=1，b=1
（II）由（I）知f（x）=
+lnx x+1
1 x
所以f(x)−
＝lnx x−1
(2lnx−1 1−x2
)
x2−1 x
考虑函数h(x)＝2lnx−
(x＞0)，
x2−1 x
则h′(x)＝
−2 x
＝−2x2−(x2−1) x2
(x−1)2 x2
所以当x≠1时，h′（x）＜0而h（1）=0，
当x∈（0，1）时，h（x）＞0可得
h(x)＞0；1 1−x2
当x∈(1，+∞)时，h(x)＜0，可得
h(x)＞01 1−x2
从而当x＞0且x≠1时，
f(x)−
＞0即f(x)＞lnx x−1
lnx x−1