已知函数f(x)=4^x+m*2^x+1有且只有一个零点,m的取值范围设2^x=t则f(x)=t^2+mt+1之后为什么函数f(x)=4^x+m*2^x+1仅有一个零点,对应于f(t)=t^2+m*t+1=0有且仅有一个正根?
问题描述：
已知函数f(x)=4^x+m*2^x+1有且只有一个零点,m的取值范围
设2^x=t
则f(x)=t^2+mt+1
之后为什么函数f(x)=4^x+m*2^x+1仅有一个零点,对应于
f(t)=t^2+m*t+1=0有且仅有一个正根?
答
设2^x=t ＞0
则f(x)=t^2+mt+1
有且只有一个零点时，仅有一个正根
即当t^2+m*t+1=0时
b²-4ac =0， m²-4=0，故m=±2
当m=2时， t=-1（舍去）
所以 当m= -2时，t=1，x=0
答
函数f(x)有且仅有一个零点,表示仅有一处x可使f(x)=0,转换成关于t的方程式后,对应只有一个t可使方程成立；而t=2^x无论x取何值均大于0,所以要求转换后的方程解必须是正数值,且应仅有一个正数解.