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设函数f（x）=14x4+bx2+cx+d，当x=t1时，f（x）有极小值．（1）若b=-6时，函数f（x）有极大值，求实数c的取值范围；（2）在（1）的条件下，若存在实数c，使函数f（x）在闭区间[m-2，m+2]上单调递增，求m的取值范围；（3）若函数f（x）只有一个极值点，且存在t2∈（t1，t1+1），使f′（t2）=0，证明：函数g（x）=f（x）-12x2+t1x在区间（t1，t2）内最多有一个零点．

分类: 作业答案 • 2022-02-22 12:26:17
问题描述：

设函数f（x）=

1
4
x4+bx2+cx+d，当x=t1时，f（x）有极小值．
（1）若b=-6时，函数f（x）有极大值，求实数c的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若存在实数c，使函数f（x）在闭区间[m-2，m+2]上单调递增，求m的取值范围；
（3）若函数f（x）只有一个极值点，且存在t2∈（t1，t1+1），使f′（t2）=0，证明：函数g（x）=f（x）-
1
2
x2+t1x在区间（t1，t2）内最多有一个零点．

答


答案解析：（1）利用条件得f′（x）=0有三个互异的实根，在对导函数求导，根据极值来下结论．
（2）先利用导函数求出函数f（x）的单调递增区间，再让闭区间[m-2，m+2]是所求区间的子集即可求m的取值范围．
（3）函数f（x）只有一个极值点，就是在导函数为0的根左右两侧的函数值异号的根只有一个x=t1．所以在x=t2两侧同号，t1＜x＜t2，求得（x-t2）2-1＜0推出函数g（x）在（t1，t2）内单调减即可得结论．
考试点：利用导数研究函数的极值．


知识点：本题考查利用极值求对应变量的值．可导函数的极值点一定是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点

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