若对任意x∈R,不等式(x2+1)cosθ−x(cosθ−5)+3x2−x+1>sinθ-1恒成立,求θ的取值范围.
问题描述:
若对任意x∈R,不等式
>sinθ-1恒成立,求θ的取值范围. (x2+1)cosθ−x(cosθ−5)+3
x2−x+1
答
原不等式变形为:(cosθ-sinθ+1)x2-(cosθ-sinθ-4)x+cosθ-sinθ+4>0
令t=cosθ-sinθ得:(t+1)x2-(t-4)x+t+4>0,
∴
⇒t>0
t+1>0 (t−4)2−4(t+1)(t+4)<0
∴cosθ-sinθ>0,∴cosθ>sinθ,∴2kπ-
<θ<2kπ+3π 4
,k∈Zπ 4
所以θ得范围是(2kπ-
,2kπ+3π 4
) k∈Zπ 4