若对任意x∈R,不等式(x2+1)cosθ−x(cosθ−5)+3x2−x+1>sinθ-1恒成立,求θ的取值范围.

问题描述:

若对任意x∈R,不等式

(x2+1)cosθ−x(cosθ−5)+3
x2−x+1
>sinθ-1恒成立,求θ的取值范围.

原不等式变形为:(cosθ-sinθ+1)x2-(cosθ-sinθ-4)x+cosθ-sinθ+4>0
令t=cosθ-sinθ得:(t+1)x2-(t-4)x+t+4>0,

t+1>0
(t−4)2−4(t+1)(t+4)<0
⇒t>0
∴cosθ-sinθ>0,∴cosθ>sinθ,∴2kπ-
4
<θ<2kπ+
π
4
,k∈Z
所以θ得范围是(2kπ-
4
,2kπ+
π
4
)  k∈Z