用可积准则证明:若函数f在【a,b】上可积,则f^2在【a,b】上也可积.

问题描述:

用可积准则证明:若函数f在【a,b】上可积,则f^2在【a,b】上也可积.

首先,f可积则f有界,设|f|于是对任意的x,y有|f^2(x)-f^2(y)|=|f(x)+f(y)|*|f(x)-f(y)|此不等式说明对区间【a,b】的任意分划下,
在每一个小子区间上函数f^2的振幅因此对任意的e>0,由f可积,存在d>0,只要分划的模就有:求和(i=1到n)wi(f)dxiwi(f)表示f在[x(i-1),xi]上的振幅,dxi是其长度.
于是有
求和(i=1到n)wi(f^2)dxi
故f^2可积.