设A是一个n阶上三角矩阵,并且主对角线上的元素不为0,如何证明它的逆矩阵也是上三角形矩阵?
问题描述：
设A是一个n阶上三角矩阵,并且主对角线上的元素不为0,如何证明它的逆矩阵也是上三角形矩阵?
答
我们假设它的逆矩阵为(Bij)。由于A是上三角矩阵，设它形如(Aij)。由于它们互为逆矩阵从而有AB＝I，I是单位矩阵。由于A的最后一行只有一个非零元素，那么我们可以推导出B的最后一行元素除最后一个元素外都为0．（由矩阵乘法，Ann＊Bnj＝Inj，当n!=j时Inj＝0，从而Bnj＝0）。然后由A的倒数第二行可以推导出B的倒数第二行只有最后两个元素可能不为0．以此类推，B是一个上三角矩阵。
答
证:用伴随矩阵的方法
由A可逆,A^-1 = A*/|A|
记 A=(aij),A*=(Aij)^T
其中Aij=(-1)^Mij是aij的代数余子式,Mij是aij是余子式.
当ii.
2.某行乘非零常数
在这两类变换时,右边一块始终保持上三角的形式.
故最终所得A^-1是上三角矩阵.