证明：A,B为n阶矩阵,I-AB可逆,则I-BA可逆设C为I-AB的逆矩阵,I-BA=I-B((I-AB)C)A=……这样接着证下去,我曾经问过,回答是：不妨设A中每个元素为Axy,B中每个元素为Byx,则AB为Cxy=EAxuBuy（E表示累加u=1~n）,BA为Dxy=EBxvAvy(E,表示累加v=1~n),若1-AB可逆则【1-AB】不为0,又因为1是一个单位矩阵,观察易知对角线上（1-AB）与（1-BA）是一样的,而,对角线两旁的元素是对称的,若使用矩阵行列变化可发现是两个相同的矩阵,如是得1-BA是可逆的.换种答法没有说到A,B是否可逆条件是A,B为n阶矩阵，I-AB可逆，证明I-BA可逆

假设I-BA不可逆，则存在x0不等于0，且(I-BA)x0=0
所以A(I-BA)x0=(I-AB)Ax0=0
因为I-AB可逆，所以得Ax0=0
那么(I-BA)x0=x0-BAx0=x0不等于0，与上矛盾
所以命题成立

只能证明I-AB可逆，而I-BA不可逆
谢谢

A,B可逆吗?
如果B可逆,我能证明BCB^(-1)是I-BA的逆阵
反例：
A=
(1 0)
(1 0)
B=
(0.5 0.5)
( 0 0 )
则可证明I-AB可逆,而I-BA不可逆

因为I-AB可逆，所以(I-AB)(I-AB)^(-1)=I
即(I-AB)^(-1)-AB(I-AB)^(-1)=I
B(I-AB)^(-1)-BAB(I-AB)^(-1)=B
(I-BA)[B(I-AB)^(-1)]=B
(I-BA)[B(I-AB)^(-1)]A=BA
(I-BA)[B(I-AB)^(-1)A]-I=BA-I
(I-BA)[I-B(I-AB)^(-1)A]=I
故I-BA也可逆，且(I-BA)^(-1)=I-B(I-AB)^(-1)A