f(x)=0 if x 是有理数 =1 ifx是无理数 定义域 [0,1] 如何证明其在无理数上连续,有理数中不连续

你的函数写错了吧,黎曼函数R(x)=1/q（x是既约分数p/q）,=0（x是无理数）无理数上连续,有理数中不连续,从而黎曼可积.满足你给出的是狄利克雷函数,它在R上任一点都是间断的,不满足黎曼可积.嗯，是我想错了，现在如何证明它任意一点间断呢？语言论述任意有理数之间有无穷多个无理数，任意无理数之间有无穷多个有理数可以证明吗？还有就是黎曼函数R(x)=1/q（x是既约分数p/q），=0（x是无理数）现在刚开始接触测度论，我看的书上只提到这个函数很容易证得无理数上连续，有理数中不连续······可是怎么证呢······谢谢了狄利克雷那个好证，因为在R上不论是有理点还是无理点，它的”附近“都有无数个有理点和无理点，当x趋于该点时，序列an无限次的重复取有理数和无理数，而函数值f(xn)也就在0和1间无限次循环，故limxn不存在，所以狄利克雷函数在R上任一点都是它的第二类间断点。黎曼函数那个证明很麻烦，不是一两句能说清的，你可以看看数学分析的教材，一般都有。