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△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，抛物线y=x2-2ax+b2交x轴于两点M，N，交y轴于点P，其中M的坐标是（a+c，0）． （1）求证：△ABC是直角三角形； （2）若S△MNP=3S△NOP，①求cosC的值；

分类: 作业答案 • 2021-12-03 10:50:24
问题描述：

△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，抛物线y=x2-2ax+b2交x轴于两点M，N，交y轴于点P，其中M的坐标是（a+c，0）．
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）若S△MNP=3S△NOP，①求cosC的值；②判断△ABC的三边长能否取一组适当的值，使三角形MND（D为抛物线的顶点）是等腰直角三角形？如能，请求出这组值；如不能，请说明理由．

答

（1）证明：∵抛物线y=x2-2ax+b2经过点M（a+c，0）
∴（a+c）2-2a（a+c）+b2=0（1分）
∴a2+2ac+c2-2a2-2ac+b2=0
∴b2+c2=a2．（5分）
由勾股定理的逆定理得：△ABC为直角三角形；（2分）
（2）①如图所示；
∵S△MNP=3S△NOP
∴MN=3ON即MO=4ON．（5分）
又M（a+c，0）
∴N(

a+c
4
，0)（3分）
∴a+c，
a+c
4
是方程x2-2ax+b2=0的两根
∴(a+c)+
a+c
4
＝2a3．（5分）
∴c＝
3
5
a（4分）
由（1）知：在△ABC中，∠A=90°
由勾股定理得b＝
4
5
a．（5分）
∴cosC＝
b
a
＝
4
5
（5分）
②能．（5分）
由（1）知y=x2-2ax+b2=x2-2ax+a2-c2=（x-a）2-c2
∴顶点D（a，-c2）（6分）
过D作DE⊥x轴于点E则NE=EM，DN=DM
要使△MND为等腰直角三角形，只须ED=
1
2
MN=EM．（5分）
∵M（a+c，0）D（a，-c2）
∴DE=c2EM=c
∴c2=c又c＞0，
∴c=1（7分）
∵c=
3
5
ab=
4
5
a
∴a=
5
3
b=
4
3
．（5分）
∴当a=
5
3
，b=
4
3
，c=1时，△MNP为等腰直角三角形．（8分）

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