单调数列收敛准则证明数列极限存在X1=√2 Xn+1=√2Xn n=1.2.

问题描述:

单调数列收敛准则证明数列极限存在
X1=√2 Xn+1=√2Xn n=1.2.

有:xn=√(2+x(n-1))
∵ 1 由数学归纳法:
假设: x(n-1) xn=√(2+x(n-1)) xn+1=√(2+xn) ∴由单调有界原理: lim(n->∞) xn 存在 ,根据极限保序性,设:
lim(n->∞) xn = a ≥ 1
a = lim(n->∞) x(n+1)= lim(n->∞) √(2+xn)= √(2+a)
a = √(2+a)
解得 a=2 , a=-1 (舍)
∴ lim(n->∞) xn = 2