已知，O为△ABC内的任一点，求证：1/2（AB+BC+CA）＜OA+OB+OC＜AB+AC+BC．
问题描述：
已知，O为△ABC内的任一点，求证：
（AB+BC+CA）＜OA+OB+OC＜AB+AC+BC．1 2
答
∵三角形中任意两边之和大于第三边，
∴OA+OB＞AB，OA+OC＞CA，OB+OC＞BC，
∴2（OA+OB+OC）＞AB+BC+CA，即
（AB+BC+CA）＜OA+OB+OC；1 2
∵三角形中任意两边之差小于第三边，
∴CA-CO＜AO，BC-BO＜CO，AB-AO＜BO，
两边相加得，CA+AB+BC-（AO+BO+CO）＞AO+BO+CO，即AC+AB+BC＞2（AO+BO+CO）
∴AC+AB+BC＞AO+BO+CO
∴
（AB+BC+CA）＜OA+OB+OC＜AB+AC+BC．1 2