设A是一个实对称矩阵,且 ,试证：必有实n维向量X,使XTAX
问题描述：
设A是一个实对称矩阵,且 ,试证：必有实n维向量X,使XTAX
答
这显然 是错误的 ，例如单位 矩阵是个实对称矩阵，就找不到x满足此条件
lz大概还不知道什么叫“正定”二次型吧
答
第一,
实对称矩阵是可以正交相似对角化的.
即A实对称则存在正交矩阵P,使得:P转置AP=对角阵(对角线上元素正好是n个特征值).
这样的话就可以先不管A,我们先只看他的相似对角型,即只考虑对角阵,对角阵记为B
由于A的行列式为负值,A的行列式等于n个特征根的乘积.所以一定有负的特征根(反正:如果特征根全正,那么其乘积 也就是行列式的值也是正的与条件矛盾)不妨设,对角阵的第一个元素是负的a1