答
(1)△BMD是等腰三角形,
理由是:∵∠ABC=∠ADE=90°,
∴∠EDC=90°,
∵点M是CE的中点,
∴BM=CE,DM=CE,
∴BM=DM,
∴△BMD是等腰三角形;
(2)BD=BM,
证明:∵∠ABC=∠ADE=90°,
∴ED∥BC,
∴∠DEM=∠MCB,
在△EMD和△CMN中
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∠DEM=∠NCM |
EM=CM |
∠EMD=∠NMC |
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∴△EMD≌△CMN(ASA),
∴CN=DE=DA,MN=MD,
∵BA=BC,
∴BD=BN,
∴△DBN是等腰直角三角形,且BM是底边的中线,
∴BM⊥DM,∠DBM=∠DBN=45°=∠BDM,
∴△BMD为等腰直角三角形.
∴BD=BM;
(3)结论成立.
证明:过点C作CF∥ED,与DM的延长线交于点F,连接BF,
可证得△MDE≌△MFC,
∴DM=FM,DE=FC,
∴AD=ED=FC,
作AN⊥EC于点N,
由已知∠ADE=90°,∠ABC=90°,
可证得∠DEN=∠DAN,∠NAB=∠BCM,
∵CF∥ED,
∴∠DEN=∠FCM,
∴∠BCF=∠BCM+∠FCM=∠NAB+∠DEN=∠NAB+∠DAN=∠BAD,
∴△BCF≌△BAD,
∴BF=BD,∠DBA=∠CBF,
∴∠DBF=∠DBA+∠ABF=∠CBF+∠ABF=∠ABC=90°,
∴△DBF是等腰直角三角形,
∵点M是DF的中点,
则△BMD是等腰直角三角形,
∴BD=BM.