已知:△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠ABC=∠ADE=90°,点M是CE的中点,连接BM. (1)如图1,当点D、E分别在AC、AB上时,请判断△BMD的形状. (2)如图2,点D在AB上,连接DM,并延长DM交BC

问题描述:

已知:△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠ABC=∠ADE=90°,点M是CE的中点,连接BM.

(1)如图1,当点D、E分别在AC、AB上时,请判断△BMD的形状.
(2)如图2,点D在AB上,连接DM,并延长DM交BC于点N,探究BD与BM的数量关系,并给出证明.
(3)如图3,点D不在AB上,(2)中的结论还成立吗?如果成立,请证明;如果不成立,说明理由.

(1)△BMD是等腰三角形,
理由是:∵∠ABC=∠ADE=90°,
∴∠EDC=90°,
∵点M是CE的中点,
∴BM=

1
2
CE,DM=
1
2
CE,
∴BM=DM,
∴△BMD是等腰三角形;
(2)BD=
2
BM,
证明:∵∠ABC=∠ADE=90°,
∴ED∥BC,
∴∠DEM=∠MCB,
在△EMD和△CMN中
∠DEM=∠NCM
EM=CM
∠EMD=∠NMC

∴△EMD≌△CMN(ASA),
∴CN=DE=DA,MN=MD,
∵BA=BC,
∴BD=BN,
∴△DBN是等腰直角三角形,且BM是底边的中线,
∴BM⊥DM,∠DBM=
1
2
∠DBN=45°=∠BDM,
∴△BMD为等腰直角三角形.
∴BD=
2
BM;

(3)结论成立.
证明:过点C作CF∥ED,与DM的延长线交于点F,连接BF,
可证得△MDE≌△MFC,
∴DM=FM,DE=FC,
∴AD=ED=FC,
作AN⊥EC于点N,
由已知∠ADE=90°,∠ABC=90°,
可证得∠DEN=∠DAN,∠NAB=∠BCM,
∵CF∥ED,
∴∠DEN=∠FCM,
∴∠BCF=∠BCM+∠FCM=∠NAB+∠DEN=∠NAB+∠DAN=∠BAD,
∴△BCF≌△BAD,
∴BF=BD,∠DBA=∠CBF,
∴∠DBF=∠DBA+∠ABF=∠CBF+∠ABF=∠ABC=90°,
∴△DBF是等腰直角三角形,
∵点M是DF的中点,
则△BMD是等腰直角三角形,
∴BD=
2
BM.