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已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x+x2，若存在正数a，b，使得当x∈[a，b]时，f（x）的值域为[1b，1a]，则a+b=（　　） A.1 B.1+52 C.1+52 D.3+52

分类: 作业答案 • 2021-12-01 10:10:20
问题描述：

已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x+x2，若存在正数a，b，使得当x∈[a，b]时，f（x）的值域为[

1
b
，
1
a
]，则a+b=（　　）
A. 1
B.
1+
5
2

C. 1+
5
2

D.
3+
5
2

答

设x＞0，有-x＜0，则f（-x）=-2x+x2，
又由y=f（x）是定义在R上的奇函数，则f（-x）=-f（x），
则x＞0时，f（x）=2x-x2，
对于a、b分三种情况讨论：
①、当a＜1＜b时，f（x）=2x-x2的最大值为1；得

1
a
=1，即a=1，不合题意，舍去，
②、当a＜b＜1时，f（a）＜1，f（b）＜1且在[a，b]上单调增，而
1
a
＞1，不合题意，舍去，
③、当1≤a＜b时，f（x）在[a，b]上单调减，可得
f(a)＝
1
a
f(b)＝
1
b
，解可得a=1，b=
1+
5
2
，符合题意，
则a+b=
3+
5
2
；
故选D．

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