已知a＞0，且a≠1，f(logax)＝aa2−1(x−1x)．（1）求函数f（x）的解析式；（2）判断并证明f（x）的奇偶性与单调性；（3）对于f（x），当x∈（-1，1）时，有f（1-m）+f（1-m2）＜0，求实数m的集合M．
问题描述：
已知a＞0，且a≠1，f(logax)＝
(x−a
a2−1
)．1 x
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断并证明f（x）的奇偶性与单调性；
（3）对于f（x），当x∈（-1，1）时，有f（1-m）+f（1-m2）＜0，求实数m的集合M．
答
（1）令t=logax（t∈R），则x=at，f(t)＝aa2−1(at−a−t)．∴f(x)＝aa2−1(ax−a−x)（x∈R）．（2）∵f(−x)＝aa2−1(a−x−ax)＝−aa2−1(ax−a−x)＝−f(x)，且x∈R，∴f（x）为奇函数．当a＞1时，指数函数y=ax...
答案解析：（1）利用对数函数的性质结合换元法令t=logax，从而推出x=at，导出f（t）后，直接把f（t）中的变量t都换成x就得到f（x）．
（2）求出f（-x），然后把f（-x）和f（x）进行比较，若f（-x）=f（x），则f（x）是奇函数；若f（-x）=-f（x），则f（x）是偶函数；若f（-x）≠±f（x），则f（x）是非奇非偶函数．利用单调函数的定义和性质证明单调性．
（3）结合f（x）的奇偶性与单调性进行求解．y=f（x），（x∈R）既是奇函数又是增函数，故由f（1-m）+f（1-m2）＜0可知f（1-m）＜-f（1-m2），即f（1-m）＜f（m2-1），再y=f（x）在（-1，1）上是增函数求解m的取值范围．
考试点：对数函数图象与性质的综合应用．
知识点：合理选取函数的性质能够有效地简化运算．