求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值,并写出使函数y取最小值的x的集合.

问题描述:

求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值,并写出使函数y取最小值的x的集合.

y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x
=(sin2x+cos2x)+2sinxcosx+2cos2x
=1+sin2x+(1+cos2x)
=2+sin2x+cos2x
=2+

2
sin(2x+
π
4
).
当sin(2x+
π
4
)=-1时,y取得最小值2-
2
当且仅当2x+
π
4
=2kπ-
π
2
即x=kπ-
3
8
π时取最小,
取最小值的x的集合为{x|x=kπ-
3
8
π,k∈Z}.