求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值,并写出使函数y取最小值的x的集合.
问题描述:
求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值,并写出使函数y取最小值的x的集合.
答
y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x
=(sin2x+cos2x)+2sinxcosx+2cos2x
=1+sin2x+(1+cos2x)
=2+sin2x+cos2x
=2+
sin(2x+
2
).π 4
当sin(2x+
)=-1时,y取得最小值2-π 4
当且仅当2x+
2
=2kπ-π 4
即x=kπ-π 2
π时取最小,3 8
取最小值的x的集合为{x|x=kπ-
π,k∈Z}.3 8