一个正四棱台边长分别为m.n,侧面积等于两个底面积之和,则这个棱台的高为(  )A. mnm+nB. mnm−nC. m+nmnD. m−nmn

问题描述:

一个正四棱台边长分别为m.n,侧面积等于两个底面积之和,则这个棱台的高为(  )
A.

mn
m+n

B.
mn
m−n

C.
m+n
mn

D.
m−n
mn

设该棱台的高为h,则斜高h′=

(
m−n
2
)
2
+h2

∵该棱台侧面积等于两个底面积之和,
∴S侧面积=[
1
2
(m+n)•h′]×4=m2+n2
∴h′2=[
m2+n2
2(m+n)
]
2
=(
m−n
2
)
2
+h2
∴h2=[
m2+n2
2(m+n)
]
2
-(
m−n
2
)
2
=(
mn
m+n
)
2

∴h=
mn
m+n

故选A.
答案解析:设该棱台的高为h,斜高h′=
(
m−n
2
)
2
+h2
,于是S侧面积=[
1
2
(m+n)•h′]×4=m2+n2,从而可求得h.
考试点:棱柱、棱锥、棱台的体积.
知识点:本题考查棱台的侧面积,关键是要搞清楚棱台的高、斜高与上下底面的边长之间的关系,难点在于复杂的计算,属于中档题.