已知函数f(x)＝ax＋(b－8)x－a－ab(a≠0),当x∈(－3,2)时,f(x)＞0;当x∈(－∞,－3)∪(2,＋∞)时,f(x)＜0.求f(x)在[0,1]内的值域;c为何值时,不等式ax＋bx＋c≤0在[1 ,4]上恒成立.
问题描述：
已知函数f(x)＝ax＋(b－8)x－a－ab(a≠0),当x∈(－3,2)时,f(x)＞0;当x∈(－∞,－3)∪(2,＋∞)时,f(x)＜0.求f(x)在[0,1]内的值域;c为何值时,不等式ax＋bx＋c≤0在[1 ,4]上恒成立.
答
二次函数(少一个指数)
根据不等式与二次函数的关系
设f(x)=a(x+3)(x-2)=ax²+ax-6a=ax²+(b-8)x-a-ab
那么a=b-8,-6a=-a-ab
解得a=-3,b=5
f(x)=-3x²-3x+18
对称轴=-1/2
f(x)在[0,1]内是减函数
值域为[12,18]
①如果ax中没有指数
不等式ax+bx+c≤0
-3x+5x+c≤0
c≤-2x在[1 ,4]上恒成立
-2x在[1 ,4]上的最小值是-8
c≤-8时不等式ax＋bx＋c≤0在[1 ,4]上恒成立
②如果ax中是二次
ax²＋bx＋c≤0
-3x²+5x+c≤0
c≤3x²-5x在[1 ,4]上恒成立
3x²-5x对称轴是5/6,在[1 ,4]上是增函数
3x²-5x在[1 ,4]上最小值为-2
c≤-2
c≤-2时不等式ax＋bx＋c≤0在[1 ,4]上恒成立