已知函数f(x)是(0,+∞)上的可导函数,若xf'(x)>f(x)在x>0时恒成立.
问题描述：
已知函数f(x)是(0,+∞)上的可导函数,若xf'(x)>f(x)在x>0时恒成立.
(1)求证:函数g(x)=f(x)/x在(0,+∞)上是增函数.
(2)当x1＞0,x2＞0时,有f(x1+x2)＞f(x1)+f(x2)
答
1、因为g`(x)=(f(x)/x)`=(xf'(x)-f(x))/x^2
又xf'(x)>f(x) 在x>0时恒成立 所以xf'(x)-f(x)>0
所以g`(x)=(f(x)/x)`=(xf'(x)-f(x))/x^2>0在x>0时恒成立
函数g(x)=f(x)/x在(0,+∞)上是增函数.
2、由1知函数g(x)= f(x)/x在（0,+∞）上是增函数,
所以当x1＞0,x2＞0时,有x1+x2>x1 有g(x1+x2)>g(x1)
有f(x1+x2)/（x1+x2）＞f(x1)/x1,
从而x1*f(x1+x2)/（x1+x2）＞f(x1)
同理有x1+x2>x2 有g(x1+x2)>g(x2)
有f(x1+x2)/（x1+x2）＞f(x2)/x2成立,
从而x2*f(x1+x2)/（x1+x2）＞f(x2)
两式相加得x1*f(x1+x2)/（x1+x2）+x2*f(x1+x2)/（x1+x2）＞f(x1)+f(x2)
f（x1+x2）＞f（x1）+f（x2）．