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已知函数f(x)＝ax−a/x−2lnx（a≥0），若函数f（x）在其定义域内为单调函数，求a的取值范围．

分类: 作业答案 • 2021-11-30 10:05:50
问题描述：

已知函数f(x)＝ax−

a
x
−2lnx（a≥0），若函数f（x）在其定义域内为单调函数，求a的取值范围．

答

原函数定义域为（0，+∞）
∴f′(x)＝a+

a
x2
−
2
x
=
ax2−2x+a
x2

∵函数f（x）在定义域（0，+∞）内为单调函数，
∴f'（x）≤0或f'（x）≥0在（0，+∞）恒成立
（1）当a＝0时，f′(x)＝−
2
x
＜0在（0，+∞）内恒成立，
∴a=0满足题意
（2）当a＞0时，设g（x）=ax2-2x+a（x∈（0，+∞））
由题意知△=4-4a2≤0
∴a≤-1或a≥1
又∵a＞0
∴a≥1
所以a的取值范围为：a=0或a≥1

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