设函数f(x)=ex-x-1,g(x)=e2x-x-7. (1)解不等式f(x)≤g(x); (2)事实上:对于∀x∈R,有f(x)≥0成立,当且仅当x=0时取等号.由此结论证明:(1+1/x)x<e,(x>0).

问题描述:

设函数f(x)=ex-x-1,g(x)=e2x-x-7.
(1)解不等式f(x)≤g(x);
(2)事实上:对于∀x∈R,有f(x)≥0成立,当且仅当x=0时取等号.由此结论证明:(1+

1
x
)x<e,(x>0).

(1)由f(x)≤g(x),得ex-x-1≤e2x-x-7.即e2x-ex-6≥0,
所以ex≥3,
所以x≥ln3,即不等式f(x)≤g(x)的解集为[ln3,+∞);
(2)由已知当x>0时,ex>x+1,而此时

1
x
>0,所以e
1
x
>1+
1
x

所以e>(1+
1
x
)
x
(x>0).