设函数f(x)=ex-x-1,g(x)=e2x-x-7. (1)解不等式f(x)≤g(x); (2)事实上:对于∀x∈R,有f(x)≥0成立,当且仅当x=0时取等号.由此结论证明:(1+1/x)x<e,(x>0).
问题描述:
设函数f(x)=ex-x-1,g(x)=e2x-x-7.
(1)解不等式f(x)≤g(x);
(2)事实上:对于∀x∈R,有f(x)≥0成立,当且仅当x=0时取等号.由此结论证明:(1+
)x<e,(x>0). 1 x
答
(1)由f(x)≤g(x),得ex-x-1≤e2x-x-7.即e2x-ex-6≥0,
所以ex≥3,
所以x≥ln3,即不等式f(x)≤g(x)的解集为[ln3,+∞);
(2)由已知当x>0时,ex>x+1,而此时
>0,所以e1 x
>1+1 x
,1 x
所以e>(1+
)x(x>0).1 x