设有一质量为m的物体,在空中由静止开始下落,如果空气阻力为R=kv,其中k>0,v为物体的速度,求物体下落的s与t
问题描述：
设有一质量为m的物体,在空中由静止开始下落,如果空气阻力为R=kv,其中k>0,v为物体的速度,求物体下落的s与t
的函数关系
答
f ＝kv
由牛顿第二定律,得 mg-f=ma即 mg-kv=mdv/dt
整理后,得mdv/（mg-kv）=dt
两边积分,得 （-m/k）ln（mg-kv）=t+C₁（C₁为积分常数）
由初始条件：t＝0时,v＝0（从静止开始下落的）,得 C₁=（-m/k）ln（mg）
所以,（-m/k）ln（mg-kv）=t+（-m/k）ln（mg）
即 t=（m/k）ln[mg/（mg-kv）]
得 v=(mg/k)×{1-e^[-(kt/m)]}
因为v=ds/dt,
所以s=∫ vdt=∫ (mg/k)×{1-e^[-(kt/m)]}dt
=（mg/k）t+（mg/k）×（m/k）×e^(-kt/m)+C₂（C₂为积分常数）
=（mg/k）t+（m²g/k²）×e^(-kt/m)+C₂
由初始条件：t＝0时,s＝0 得 C₂=-m²g/k²
所求的s与 t 的关系是 s=（mg/k）t+（m²g/k²）×e^(-kt/m)-m²g/k²