已知数列{an}前n项和An=-12n2+kn（其中k∈N+），且An的最大值为8；数列{bn}的前n项和Bn=n+23bn，且b1=1．（1）确定常数k，并求an；（2）求数列{bn(9-2an)4n}的前n项和Sn．
问题描述：
已知数列{an}前n项和An=-
n2+kn（其中k∈N+），且An的最大值为8；数列{bn}的前n项和Bn=1 2
bn，且b1=1．n+2 3
（1）确定常数k，并求an；
（2）求数列{
}的前n项和Sn．bn (9-2an)4n
答
（1）∵数列{an}前n项和An=-
n2+kn（其中k∈N+），且An的最大值为8，1 2
又k∈N*，所以当n=k时An取得最大值为
k2=8，解得k=4，1 2
当n≥2时，an=An-An-1=（-
n2+4n）-[-1 2
（n-1）2+4（n-1）]=-n+1 2
，9 2
当n=1时，a1=
，适合上式，7 2
综上，an=-n+
；9 2
（2）b1=1．
n＞1时，bn=Bn-Bn-1=
bn-n+2 3
bn，即bn=n+1 3
bn-1，n+1 n-1
利用叠乘法可得bn=
，n(n+1) 2
∴
=bn (9-2an)4n
，n+1 4n+1
∴Sn=
+2 42
+…+3 43
，n+1 4n+1
∴4Sn=
+2 4
+…+3 42
，n+1 4n
两式相减，整理可得Sn=
-7 36
•3n+7 36
．1 4n
答案解析：（1）当n=k时An取得最大值为
k2=8，解得k=4；当n≥2时，an=An-An-1，即可求an；1 2
（2）利用错位相减法求和．
考试点：数列递推式．
知识点：本题考查数列递推式，考查数列的通项与求和，考查错位相减法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．