已知与圆C：x^2+y^2-2x-2y+1=0相切的直线l分别交x轴、y轴正半轴于A、B两点,O为坐标原点OA=a,OB=b(a>2,b>2)（1）求证：曲线C与直线l相切的条件是（a-2)(b-2)=2(2)求线段AB的中点的轨迹方程（3）求三角形AOB的面积的最小值

根据圆C：x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1 = 0
整理得到：(x-1)^2 + (y-1)^2 = 1
就是说：圆C的圆心坐标为（1,1),半径为1；
对于一通过该圆心的直线，必有方程如下：
（y-1）=k*(x-1)
或
y=kx-k+1
其中，k为直线的斜率。
该直线与圆C的交点坐标为下列方程组的
(x-1)^2 + (y-1)^2 = 1
y=kx-k+1
即为：x = 1/sqrt(k^2+1) + 1
y = k/sqrt(k^2+1) + 1
切线的方程为：y - k/sqrt(k^2+1) - 1 = -1/k*(x - 1/sqrt(k^2+1) - 1)
整理后得到：y=-1/k*x + 1/k*[sqrt(k^2+1)+(k+1)]
当y=0时，得到：x=sqrt(k^2+1)+(k+1)，即为OA；
当x=0时，得到：y=1/k*[sqrt(k^2+1)+(k+1)]，即为OB；
（1）求证：
(a-2)(b-2)=[sqrt(k^2+1)+(k-1)]*[1/k*[sqrt(k^2+1)-(k-1)]
=[(k^2+1)-(k-1)^2]/k
=2k/k=2
就是说，直线I与曲线C相切时，(a-2)(b-2)=2，反之同样成立；
（2）中点坐标：x=[sqrt(k^2+1)+(k+1)]/2
y=1/2k*[sqrt(k^2+1)+(k+1)
联立方程并解之，即为中点的轨迹方程；
y=(2x-1)/2(x-1)
（3）三角形AOB的面积：ΔAOB=2xy=x(2x-1)/(x-1)
对上述函数进行求导，并令之等于0后解之得：
（1）x=1+sqrt(2)/2，（2）x=1-sqrt(2)/2
根据条件：a>2，b>2，解（2）：x=1-sqrt(2)/2无效，
以解（1）代入原式得三角形AOB面积的最小值：
ΔAOB(min)=2xy=x(2x-1)/(x-1)=3+2*sqrt(2).

①圆C:x^+y^-2x-2y+1=0化为标准方程:(x-1)^+(y-1)^=1
圆心C(1,1),半径r=1.
设A(a,0),B(0,b)
直线AB:x/a+y/b=1即bx+ay-ab=0
圆心C(1,1)到直线AB的距离等于半径r=1.
|b+a-ab|/√(a^+b^)=1
|b+a-ab|^=(a^+b^)
(b+a)^-2ab(b+a)+a^b^=a^+b^
2ab-2ab(b+a)+a^b^=0
∵ab≠0∴2-2(b+a)+ab=0
∴(a-2)b-2a+4=2∴(a-2)(b-2)=2
②设线段AB中点(x,y)
x=(a+0)/2,y=(0+b)/2
∴a=2x,b=2y代入∴(a-2)(b-2)=2中得:
∴(2x-2)(2y-2)=2
∴(x-1)(y-1)=1/2[注:x＞1,y＞1]
③设a-2=m＞0,b-2=n＞0且mn=2
∴三角形AOB的面积S=(1/2)ab=(1/2)(m+2)(n+2)=(1/2)[mn+2m+2n+4]
≥(1/2)[mn+2√(2m×2n)+4]=(1/2)[2+2√(2×2×2)+4]=3+2√2