关于无穷小阶和微分定义的问题
问题描述：
关于无穷小阶和微分定义的问题
如何理解这个无穷小阶的定义.它的现实意义是不是若α=o(β),则可以说在x→x0时,α比β更小（就是α很小,但β比α更接近无穷小）,而低阶无穷小则反之呢?
还有就是关于微分定义的问题.为什么定义要定义成：Δy=AΔx+o(Δx),微分的几何意义其实就是x0处的切线的增量和函数的增量在Δx→0时相等.那微分的定义中那个o(Δx)为什么要是Δx→0时Δx的高阶无穷小呢,换成任意在Δx→0时的无穷小不行么,这样也满足微分的几何意义啊.请教高人微分定义为何要加一个Δx→0时Δx的高阶无穷小,而不是任意一个Δx→0时的无穷小.
答
无穷小的阶就是一个定义:若limβ/α=0,那么β就是比α 高阶的无穷小,用数学符号表示为β=o(α),它并不是表示α与β哪一个更接近无穷小,仅仅表达limβ/α=0一个关系.
至于微分的定义,其实可以推出来:
假设y=f(x)在a点处可导,那么当△x→0时,lim△y/△x=f'(a)存在,有
△y/△x=f'(a)+α,其中α为当△x→0时的无穷小.
由上:△y=f'(a)△x+α△x
我们知道,当△x→0时,limα△x/△x=limα=0,所以α△x=o(△x)
同时因为f'(a)与△x不存在关系,我们令A=f'(a)
所以:△y=A△x+o(△x)