如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BB1、CD的中点.(1)证明AD⊥D1F;(2)求AE与D1F所成的角.

问题描述:

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BB1、CD的中点.

(1)证明AD⊥D1F;
(2)求AE与D1F所成的角.


(Ⅰ)∵AC1是正方体,
∴AD⊥面DC1
又D1F⊂面DC1
∴AD⊥D1F.
(Ⅱ)取AB中点G,连接A1G,FG.因为F是CD的中点,所以GF、AD平行且相等,又A1D1、AD平行且相等,所以GF、A1D1平行且相等,故GFD1A1是平行四边形,A1G∥D1F.
设A1G与AE相交于点H,则∠AHA1是AE与D1F所成的角,因为E是BB1的中点,所以Rt△A1AG≌Rt△ABE,∠GA1A=∠GAH,从而∠AHA1=90°,即直线AE与D1F所成角为直角.
答案解析:(1)证明线线垂直可先证线面垂直,欲证AD⊥D1F,可先证AD⊥面DC1,即可证得;
(2)先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点,取AB的中点G,将D1F平移到A1G,AB与A1G构成的锐角或直角就是异面直线所成的角,利用三角形全等求出此角即可.
考试点:异面直线及其所成的角.


知识点:本小题主要考查异面直线及其所成的角,考查逻辑推理能力和空间想象能力,属于基础题.