到正方体ABCD-A1B1C1D1的四个顶点A.B.D.A1距离相等的平面共有几个?
问题描述：
到正方体ABCD-A1B1C1D1的四个顶点A.B.D.A1距离相等的平面共有几个?
答
显然,这样的平面不可能使A.B.D.A1四个点在其同一侧,否则易证的四点共面,与实际条件矛盾.如此,可分为所求平面将四点分为两种情况：
（1）、1个点在一侧,另外3个点在另一侧；
（2）、2个点在一侧,另外2个点在另一侧.
下面进行讨论：
（1）、1个点在一侧,另外3个点在另一侧；
易证得所求平面与同侧3点构成的平面平行,进而易知,对确定的单侧单点,仅有1个平面满足条件.例如,A点在一侧,B.D.A1在另一侧,则满足条件的平面仅有AB,AD,AA1三线段中点所在地平面.进而知,在此情况下,A.B.D.A1四点对应着4个满足条件的平面.
（2）、2个点在一侧,另外2个点在另一侧；
不防考虑A、A1同侧,B、D同侧的情况：所求平面记为面P,到四点距离相同,且A、A1同侧,B、D同侧,易得AA1||面P,BD||面P,面P过AB、A1B、AD、A1D四线段各自中点,从而面P确定且唯一.
如此,每对同侧组合确定唯一满足条件的对应平面,只要考虑同侧组合的数量就可以了：
1、（A,A1）,（B、D）；
2、（A,B）,（A1,D）；
3、（A,D）,（A1,B）.
共3组.
综上知所求平面共有4+3=7个.