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已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf（x+1）=（1+x）f（x），则f[f（52）]的值是（　　） A.0 B.12 C.1 D.52

分类: 作业答案 • 2021-11-29 10:34:23
问题描述：

已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf（x+1）=（1+x）f（x），则f[f（

5
2
）]的值是（　　）
A. 0
B.
1
2

C. 1
D.
5
2

答

若x≠0，xf（x+1）=（1+x）f（x），则有f（x+1）=

1+x
x
f（x），取x=-
1
2
，
则有：f（
1
2
）=f（-
1
2
+1）=
1−
1
2
−
1
2
f（-
1
2
）=-f（-
1
2
）=-f（
1
2
）
∵f（x）是偶函数，则f（-
1
2
）=f（
1
2
）
由此得f（
1
2
）=0．
于是，f（
5
2
）=f（
3
2
+1）=
1+
3
2
3
2
f（
3
2
）=
5
3
f（
3
2
）=
5
3
f（
1
2
+1）=
5
3
[
1+
1
2
1
2
]f（
1
2
）=5f（
1
2
）=0
故选：A．

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