已知函数f(x)=ax3+bx2+c的图象过点(0,1),且在x=1处的切线方程为y=2x-1.(1)求f(x)的解析式;(2)若f(x)在[0,m]上有最小值1927,求实数m的取值范围.

问题描述:

已知函数f(x)=ax3+bx2+c的图象过点(0,1),且在x=1处的切线方程为y=2x-1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若f(x)在[0,m]上有最小值

19
27
,求实数m的取值范围.

(1)∵f(x)=ax3+bx2+c,
∴f′(x)=3ax2+2bx,
∵函数f(x)=ax3+bx2+c的图象过点(0,1),
且在x=1处的切线方程为y=2x-1,

f(0)=c=1
f(x)=3a+2b=2
a+b+c−2=−1

解得a=2,b=-2,c=1,
∴f(x)=2x3-2x2+1.
(2)∵f(x)=2x3-2x2+1,
∴f′(x)=6x2-4x,
令f′(x)=6x2-4x=0,得x1=0,x2=
2
3

∵f(0)=1,
f(
2
3
)=4×
8
27
-2×
4
9
+1=
19
27

∵f(x)在[0,m]上有最小值
19
27

∴m≥
2
3

∴实数m的取值范围[
2
3
,+∞).
答案解析:(1)由f′(x)=3ax2+2bx,函数f(x)=ax3+bx2+c的图象过点(0,1),且在x=1处的切线方程为y=2x-1,建立方程组,能够求出f(x).
(2)由f(x)=2x3-2x2+1,知f′(x)=6x2-4x,令f′(x)=6x2-4x=0,得x1=0,x2=
2
3
,由此进行求解,能够求出实数m的取值范围.
考试点:利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程.
知识点:本题考查函数的解析式的求法,考查满足条件的实数值的求法.解题时要认真审题,仔细解答,注意等价转化思想的合理运用.