A,B为n级方阵若A为可逆矩阵B为n级实反对称矩阵证明A'A+B的行列式>0
问题描述：
A,B为n级方阵若A为可逆矩阵B为n级实反对称矩阵证明A'A+B的行列式>0
答
设x为B的复特征值（复（含实）特征值一定有n个,而且其共轭复数也是其特征值）其共轭复数设为y
p为x的复特征向量,q为p的共轭复向量
Bp=xp,Bq=yq
-yq^Tp=-(Bq)^Tp=(q^TB)p=q^TBp=q^T(Bp)=q^Txp=xq^Tp
故(x+y)q^Tp=0
易证q^Tp不为零,故x+y=0,故特征值的实部均为0.
那么B的特征多项式det(λE-B)=f(λ)的因式一定是λ或是λ^2+c(c>0)的形式出现,故λ>0时f(λ)>0；故λ=0时f(λ)=0；故λ0（这个地方的符号,考虑λ的重数与n同奇数同偶）
detA表示A的行列式.
下面det(E+B)=(-1)^ndet(-E-B)=(-1)^nf(-1)>0
A可逆,detA不为零
考虑到A'^(-1)BA^(-1)也是反对称的
故det(E+A'^(-1)BA^(-1))>0
det(A'A+B)=detA'det(E+A'^(-1)BA^(-1))detA=(detA)^2det(E+A'^(-1)BA^(-1))>0
考虑了很久,其实这道题就是一个正定的加一个非负定的一定是一个非负定的题目.我这样说你估计要受不了.但用线代来证真累.