设函数f(x)＝a/3x3+bx2+4cx+d的图象关于原点对称，f（x）的图象在点P（1，m）处的切线的斜率为-6，且当x=2时f（x）有极值． （Ⅰ）求a、b、c、d的值； （Ⅱ）求f（x）的所有极值．
问题描述：
设函数f(x)＝
x3+bx2+4cx+d的图象关于原点对称，f（x）的图象在点P（1，m）处的切线的斜率为-6，且当x=2时f（x）有极值．a 3
（Ⅰ）求a、b、c、d的值；
（Ⅱ）求f（x）的所有极值．
答
∴f(x)极大＝f(−2)＝
；f(x)极小＝f(2)＝−
．
（Ⅰ）由函数f（x）的图象关于原点对称，得f（-x）=-f（x）
∴−
x3+bx2−4cx+d＝−a 3
x3−bx2−4cx−d，∴b=0，d=0．a 3
∴f(x)＝
x3+4cx，∴f'（x）=ax2+4c．a 3
∴
，即
f′(1)＝a+4c＝−6 f′(2)＝4a+4c＝0
．∴a=2，c=-2．
a+4c＝−6 4a+4c＝0
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)＝
x3−8x，∴f'（x）=2x2-8=2（x2-4）．2 3
由f（x）>0，得x2-4>0，∴x>2或x<-2．
| x | （-∞，-2） | -2 | （-2，2） | 2 | （2，+∞） |
| f'（x） | - | 0 | + | 0 | - |
| f（x） | ↘ | 极小 | ↗ | 极大 | ↘ |
| 32 |
| 3 |
| 32 |
| 3 |