已知函数f(x)=1/2(x^(2/3)+x^(-2/3)),g(x)=1/2(x^(2/3)-x^(-2/3)),(1)分别计算2f(2)g(2)-g(4)和2f(3)g(3)-g(9)的值(2)请根据(1)中计算结果,概括出涉及函数f(x)和g(x)的对所有非零的实数x都成立的一个等式,并加以证明第一题算出来全等于0第二题呢?
问题描述：
已知函数f(x)=1/2(x^(2/3)+x^(-2/3)),g(x)=1/2(x^(2/3)-x^(-2/3)),
(1)分别计算2f(2)g(2)-g(4)和2f(3)g(3)-g(9)的值
(2)请根据(1)中计算结果,概括出涉及函数f(x)和g(x)的对所有非零的实数x都成立的一个等式,并加以证明
第一题算出来全等于0
第二题呢?
答
通过观察得出的等式为：2f(x)g(x)-g(x^2)=0也即 g(x^2)=2f(x)g(x)证明：设x^(2/3)=a x^(-2/3)=b则 2f(x)g(x)=2*1/2*(a+b)*1/2(a-b)=1/2*(a^2-b^2)g(x^2)=1/2*(a^2-b^2)所以 g(x^2)=2f(x)g(x)