已知函数f(x)=x13−x−135,g(x)=x13+x−135.(1)证明f(x)是奇函数,并求函数f(x)的单调区间;(2)分别计算f(4)-5f(2)g(2)和f(9)-5f(3)g(3)的值,由此概括出f(x)和g(x)对所有不等于零的实数x都成立的一个等式,并加以证明.

问题描述:

已知函数f(x)=

x
1
3
x
1
3
5
,g(x)=
x
1
3
+x
1
3
5

(1)证明f(x)是奇函数,并求函数f(x)的单调区间;
(2)分别计算f(4)-5f(2)g(2)和f(9)-5f(3)g(3)的值,由此概括出f(x)和g(x)对所有不等于零的实数x都成立的一个等式,并加以证明.

(1)函数f(x)的定义域为{x|x≠0},
则f(x)=

(−x)
1
3
−(−x)
1
3
5
=-
x
1
3
x
1
3
5
=-f(x),∴函数f(x)是奇函数.
当x>0时,函数y=x
1
3
为增函数,y=x
1
3
为减函数,
∴根据函数单调性的关系即可得到此时函数f(x)为增函数,
∴函数f(x)的单调递增区间为(-∞,0)和(0,+∞).
(2)f(4)-5f(2)•g(2)=0;f(9)-5f(3)•g(3)=0;
由此概括出对所有不等于零的实数x都成立的等式是:f(x2)-5f(x)•g(x)=0,
下面给予证明:∵f(x2)-5f(x)•g(x)=
x
2
3
x
2
3
5
−5×
x
1
3
x
1
3
5
×
x
1
3
+x
1
3
5
=
1
5
(x
2
3
x
2
3
)−
1
5
(x
2
3
x
2
3
)
=0,
∴f(x2)-5f(x)•g(x)=0对所有不等于零的实数x都成立.
答案解析:(1)求出函数的定义域,利用函数的奇偶性和单调性的性质即可得到结论.
(2)分别计算f(4)-5f(2)g(2)和f(9)-5f(3)g(3)的值,根据条件进行归纳即可得到结论.
考试点:函数奇偶性的判断.
知识点:本题主要考查函数的奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明及归纳推理,其中熟练掌握函数性质的定义及判断方法是解答本题的关键.