已知如图,△ABC中,∠CAB=90°,AB=AC,E、F为BC上的点且∠EAF=45°,求证:EF2=BE2+FC2.

问题描述:

已知如图,△ABC中,∠CAB=90°,AB=AC,E、F为BC上的点且∠EAF=45°,求证:EF2=BE2+FC2

证明:把△ACF绕点A顺时针旋转90°,得到△ABG.连接EG.
则△ACF≌△ABG.
∴AG=AF,BG=CF,∠ABG=∠ACF=45°.
∵∠BAC=90°,∠GAF=90°.
∴∠GAE=∠EAF=45°,
在△AEG和△AFE中

AG=AF
∠GAE=∠FAE
AE=AE

∴△AEG≌△AFE(SAS).
∴EF=EG,
又∠GBE=90°,
∴BE2+BG2=EG2
即BE2+CF2=EF2