已知函数f（x）=x2+aln x．（I）当a=-2时，求函数f（x）的极值；（II）若g（x）=f（x）+2x在[1，+∞）上是单调增函数，求实数a的取值范围．
问题描述：
已知函数f（x）=x2+aln x．
（I）当a=-2时，求函数f（x）的极值；
（II）若g（x）=f（x）+
在[1，+∞）上是单调增函数，求实数a的取值范围． 2 x
答
（I）函数f（x）的定义域为（0，+∞）
当a=-2时，f′(x)＝2x−
＝2 x
2(x+1)(x−1) x
当x变化时，f′（x），f（x）的值变化情况如下表
由上表可知，函数f（x）单调递减区间是（0，1），单调递增区间是（1，+∞）
极小值是f（1）=1，没有极大值
（2）由g(x)＝x2+alnx+
得g′(x)＝2x+2 x
−a x
2 x2
因为g（x）在[1，+∞）上是单调增函数
所以g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立
即不等式2x+
−a x
≥0在[1，+∞）上恒成立即a≥ 2 x2
−2x2在[1，+∞）上恒成立2 x
令∅(x)＝
−2x2则∅′(x)＝−2 x
−4x当x∈[1，+∞）时，∅′(x)＝−2 x2
−4x＜02 x2
∴∅(x)＝
−2x2在[1，+∞）上为减函数2 x
∅（x）的最大值为∅（1）=0
∴a≥0
故a的取值范围为[0，+∞）
答案解析：（I）求出f（x）的导函数，列出x，f′（x），f（x）的变化情况表，求出单调区间及函数的极值．
（II）令g（x）的导数大于等于0恒成立，分离出参数a，构造新函数，通过导数求出新函数的最小值，令a大于等于最小值即得到a的范围．
考试点：利用导数研究函数的极值；函数的单调性与导数的关系．
知识点：求使函数单调的参数的范围时，若函数单增则令其导数大于等于0恒成立；若单减，则令其导数小于等于0恒成立．