矩阵为幂等矩阵的充要条件已知一个n阶矩阵A满足rank(A)+rank(E-A)=n,其中E为n阶单位矩阵,怎么证明A是幂等矩阵,也即证明A^2=A
问题描述：
矩阵为幂等矩阵的充要条件
已知一个n阶矩阵A满足rank(A)+rank(E-A)=n,其中E为n阶单位矩阵,怎么证明A是幂等矩阵,也即证明A^2=A
答
此题甚易首先,设A可逆,则rank(E-A)=0,A=E,命题成立设E-A可逆,则rank A=0,A=0,命题成立现设A不可逆,E-A不可逆.设映射α：X→AX,β：X→(E-A)X由rank(A)+rank(E-A)=n知dim ker α+dim ker β=n.而ker α是AX=0的解空间...