求微分方程y″-2y′-3y=3x+1+ex的一个特解．
问题描述：
求微分方程y″-2y′-3y=3x+1+ex的一个特解．
答
微分方程y″-2y′-3y=3x+1+ex的特征方程为：λ2-2λ-3=0，
求解可得其特征值为：λ1=-1，λ2=3．
对于微分方程y″-2y′-3y=3x+1，①
由于0不是方程的特征根，
故其特解形式为：y1=Ax+B．
代入①可得，
-3Ax-（2A+3B）=3x+1．
故由
可得，A=-1，B=
−3A＝3 −(2A+3B)＝1
，1 3
故y1＝−x+
．1 3
对于微分方程y″-2y′-3y=ex，②
由于1是方程的单重特征根，
故其特解形式为：y1=Cex．
代入②可得，
-4Cex=ex．
故C=−
ex，1 4
因此，y2＝−
ex．1 4
由线性微分方程解的性质可得，
y=y1+y2 =−x+
−1 3
ex即为所求微分方程的一个特解．1 4
答案解析：利用线性微分方程解的性质可得，只需分别求出y″-2y′-3y=3x+1的一个特解y1，以及y″-2y′-3y=ex的一个特解y2，则y1+y2即为微分方程y″-2y′-3y=3x+1+ex的一个特解．
考试点：线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数非齐次线性微分方程求解．
知识点：本题考查了线性微分方程解的性质以及二阶常系数非齐次线性微分方程的特解形式，具有一定的综合性，难度系数适中．二阶常系数非齐次线性微分方程的特解形式是一个重要知识点，需要熟练掌握常见方程的特解形式并灵活运用．