已知数列{an}满足Sn+an=2n+1.(1)写出a1,a2,a3,并推测an的表达式;(2)用数学归纳法证明所得的结论.

问题描述:

已知数列{an}满足Sn+an=2n+1.
(1)写出a1,a2,a3,并推测an的表达式;
(2)用数学归纳法证明所得的结论.

(1)当n=1,时S1+a1=2a1=3
∴a1=

3
2

        当n=2时,S2+a2=a1+a2+a2=5
∴a2=
7
4

同样令n=3,则可求出a3=
15
8

∴a1=
3
2
,a2=
7
4
,a3=
15
8

猜测an=2-
1
2n

(2)①由(1)已得当n=1时,命题成立;
②假设n=k时,命题成立,即ak=2-
1
2k

当n=k+1时,a1+a2+…+ak+2ak+1=2(k+1)+1,
且a1+a2+…+ak=2k+1-ak
∴2k+1-ak+2ak+1=2(k+1)+1=2k+3,
∴2ak+1=2+2-
1
2k
,即ak+1=2-
1
2k+1

即当n=k+1时,命题成立.
根据①②得n∈N+,an=2-
1
2n
都成立.
答案解析:(1)取n=1,2,3,分别求出a1,a2,a3,然后仔细观察,总结规律,猜测an的值.
(2)用数学归纳法进行证明,①当n=1时,命题成立;②假设n=k时,命题成立,即ak=2-
1
2k
,当n=k+1时,a1+a2+…+ak+ak+1+ak+1=2(k+1)+1,ak+1=2-
1
2k+1
,当n=k+1时,命题成立.故an=2-
1
2n
都成立.
考试点:数列递推式;数学归纳法.
知识点:本题考查数列的递推式,解题时注意数学归纳法的证明过程.