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已知数列{an}中，a1＝12，an+1＝an+14n2−1，则an=______．

分类: 作业答案 • 2021-12-19 17:12:11
问题描述：

已知数列{an}中，a1＝

1
2
，an+1＝an+
1
4n2−1
，则an=______．

答

∵a1＝

1
2
，an+1＝an+
1
4n2−1

∴an+1−an＝
1
(2n−1)(2n+1)
=
1
2
(
1
2n−1
−
1
2n+1
)
∴a2−a1＝
1
2
(1−
1
3
)
a3−a2＝
1
2
(
1
3
−
1
5
)
…
an−an−1＝
1
2
(
1
2n−3
−
1
2n−1
)
以上n-1个式子相加可得，an−a1＝
1
2
(1−
1
2n−1
)＝
2n−2
4n−2

∵a1＝
1
2

∴an=
2n−2
4n−2
+
1
2
=
4n−3
4n−2

故答案为：
4n−3
4n−2

答案解析：由已知可得，an+1−an＝
1
(2n−1)(2n+1)
=
1
2
(
1
2n−1
−
1
2n+1
)，然后利用累计法可求通项
考试点：数列递推式．
知识点：本题主要考查了利用裂项及累计法求解数列的通项，解题的关键 是对递推公式的变形an+1−an＝
1
(2n−1)(2n+1)
=
1
2
(
1
2n−1
−
1
2n+1
)

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