设m为整数,且m不等于0,方程mx^2-(m-1)x+1=0只有有理数根,求m的值如题
问题描述：
设m为整数,且m不等于0,方程mx^2-(m-1)x+1=0只有有理数根,求m的值
如题
答
delta1=(m-1)^2-4m=m^2-6m+1=p^2, 令p>=0
m^2-6m+1-p^2=0
delta2=36-4(1-p^2)=4(p^2+8)
p^2+8=q^2 ，令q>0
8=q^2-p^2=(q+p)(q-p) , p.,q需同奇或同偶，否则其和差都为奇数，乘积就不可能为8
所以只有：q+p=4,q-p=2,
q=3, p=1'
delta1=p^2=1=m^2-6m+1, m^2-6m=0,
因m0,故m=6
答
方程mx^2-(m-1)x+1=0只有有理数根,判别式=(m-1)^2-4m=m^2-6m+1 因为方程只有有理根,则判别式一定是完全平方数.设m^2-6m+1=k^2,即：m^2-6m+9-k^2=8 (m-3)^2-k^2=8 (m-3+k)(m-3-k)=8=1*8=2*4 所以：m-3+k=1或8,m-3-k=8...