已知椭圆x2/a2+y2/b2=1,以原点为圆心,a为半径作圆,过点P(a2/c,0)作圆的两条切线切点为A、B,若四边形OAPB为正方形,则椭圆的离心率为_____.

问题描述:

已知椭圆x2/a2+y2/b2=1,以原点为圆心,a为半径作圆,过点P(a2/c,0)作圆的两条切线
切点为A、B,若四边形OAPB为正方形,则椭圆的离心率为_____.

因为四边形OAPB为正方形,所以OP=√2 OA
OP=a²/c
OA=a
离心率=e=c/a= 1/√2

二分之根号二
因为四边形OAPB为正方形,OP长a2/c,所以B坐标(a2/2c,a2/2c),把B的坐标带入椭圆方程,
得到(a2/2c)2/a2+(a2/2c)2/a2=1,解方程可得c/a=二分之根号二 (另外一个解是正负一,由于离心率小于一,所以舍去)