如图 AD是△ABC的角平分线 DE,DF分别是△ABD和△ACD的高 求证AD垂直平分EF..2010初二上学期数学书第65页11题..

设EF和AD相交于H，
AD是〈A的平分线，
DE⊥AB，DF⊥AC，
故BE=DF，（角平线上任一点至角两边距离相等），
AB=AB，
RT△AED≌RT△AFD,
AE=AF,
△AEF是等腰△，
AH是其角平分线，
则必然也是其高和中线，
故AD垂直平分EF。

角平分线定理，
DE=DF,
AD=AD,D是△ABC的角平分线
AED==ADF
AE=AD,
D是△ABC的角平分线
AD垂直平分EF.

连接EF与AB相交于O点
由题意可知,AD是三角形ABC的角平分线,
∴∠BAD=∠CAD
又因为DE,DF分别是△ABD和△ACD的高,
AD=AD
由角边角可知△ADE和△AFD全等,
∴ DE=DF,AE=AF,∠EDO=∠FDO
因为OD=OD
所以△DEO和△FDO全等
∴EO=FO
又因为△AEF是等腰三角形,EO=FO
所以△AEO和△AFO是全等三角形
所以O点是中点
∴AO⊥EF
所以得证AD垂直平分EF