已知Rt△ABC中，∠C=90°，O为斜边AB上的一点，以O为圆心的圆与边AC，BC分别相切于点E，F，若AC=1，BC=3，则⊙O的半径为（ ）A. 12B. 23C. 34D. 45
问题描述：
已知Rt△ABC中，∠C=90°，O为斜边AB上的一点，以O为圆心的圆与边AC，BC分别相切于点E，F，若AC=1，BC=3，则⊙O的半径为（ ）
A.
1 2
B.
2 3
C.
3 4
D.
4 5
答
知识点：本题利用了切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理求解，有一定的难度．
方法一：
如图，连接OE，OF，
设圆的半径为R，
∴OE=OF=R，
∵以O为圆心的圆与边AC，BC分别相切于点E，F，
∴四边形CEOF是正方形，
∴OF∥AC，
∴△OBF∽△ABC，
∴OF：AC=FB：BC，
∴BF=3R，
同理，AE=
R，1 3
由勾股定理得，AO=
R，BO=
10
3
R，AB=
10
，
10
∵AO+BO=AB，
∴R=
．3 4
方法二：连接CO，
∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，
∴S△ACB=
×AC×BC=1 2
，3 2
∵S△ACO+S△COB=S△ACB=
，3 2
∴
×EO×1+1 2
×FO×3=1 2
，3 2
解得：EO=
，3 4
则⊙O的半径为
．3 4
故选C．
答案解析：如图，连接OE，OF，设圆的半径为R，OE=OF=R，根据已知条件可以推出则四边形AFOE是正方形，从而得到OF∥AC，可得△OBF∽△ABC，可得OF：AC=FB：BC，由此可以把BF用R表示，同理AE也可以用R表示，然后由勾股定理得，AO=
R，BO=
10
3
R，AB=
10
，由此即可求出R．
10
考试点：切线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．
知识点：本题利用了切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理求解，有一定的难度．