当x不等于0时,f(x)=e^(-1/x^2),当x=0时,x=0,证明f(x)的导数在点x=0处连续.

问题描述:

当x不等于0时,f(x)=e^(-1/x^2),当x=0时,x=0,证明f(x)的导数在点x=0处连续.

左右极限相等并且等于函数值

即需要求出前者的极限也为0.
y=e^(-1/x^2)
lny=lne^(-1/x^2)=-1/x^2趋近-∞。
根据图像容易知道此时,y趋近于0.
所以导数在x=0处连续。

在x=0处
f(x)的左极限=0 因为x从左边趋近于0时,-1/x^2趋近于负无穷,所以f(x)趋近于0
f(x)的右极限=0 因为x从右边趋近于0时,-1/x^2趋近于负无穷,剩下同理
所以f(x)左极限=f(x)右极限=0
所以f(x)在x=0处极限为0
所以limf(x)x趋近于0=f(0)=0
所以连续