已知函数f(x)=loga(1+x),g(x)=loga(1-x),(a>0,且a≠1)①判断函数F(x)=f(x)-g(x)的奇偶性,并证明.②解不等式:F(x)=f(x)-g(x)>0.

问题描述:

已知函数f(x)=loga(1+x),g(x)=loga(1-x),(a>0,且a≠1)
①判断函数F(x)=f(x)-g(x)的奇偶性,并证明.
②解不等式:F(x)=f(x)-g(x)>0.

①证明:由1+x>0和1-x>0可得-1<x<1,∴函数F(x)=f(x)-g(x)的定义域为{x|-1<x<1},∵F(x)=f(x)-g(x)=loga(1+x)-loga(1-x),∴F(-x)=loga(1-x)-loga(1+x)=-F(x),∴函数F(x)=f(x)-g...
答案解析:①先求得定义域为{x|-1<x<1},由奇偶性的定义可判;
②原不等式可化为loga

1+x
1−x
>0,当a>1时,不等式等价于
1+x
1−x
>1,当0<a<1时,不等式等价于0<
1+x
1−x
<1,分别解不等式结合定义域可得.
考试点:指、对数不等式的解法;函数奇偶性的判断.
知识点:本题考查函数奇偶性的判定,涉及对数的运算和分类讨论的思想,属基础题.