利用导数证明不等式:0

问题描述:

利用导数证明不等式:0

构造函数f(x)=tanx-x-(x^3)/3,求导得到f'(x)=1/(cosx)^2-1-x^2=(tanx)^2-x^2=(tanx+x)(tanx-x),因为00,,tanx-x>0,故f(x)是增函数。当x=0时取最小值0,从而证明了F(x)>0.

设f(x)=tanx-x+(x^3)/3
f'(x)=1/cos^2x-1+x^2=tan^2x+x^2>0,
f(x)为增函数,f(0)=0
所以0tanx>x+(x^3)/3

设f(x)=tanx-x-x^3/3
f'(x)=secx^2-1-x^2=(tanx)^2-x^2
当00
所以f'(x)>0
所以f(x)在0x+(x^3)/3